数学１　数と式２　整式の加法・減法・乗法

はじめに

本シリーズは、生徒役のシグマと教師役のオメガの２人の会話で学ぶ高校数学です。

皆さんも、シグマと一緒に高校数学を学んでみませんか？

整式の加法・減法・乗法

整式の四則演算

オメガ「今日は、整式の四則演算について学ぼう」

シグマ「どんどんぱふぱふ」

オメガ「ところでシグマ。前回のおさらいだけど、整式とは何だったかな？」

シグマ「整式は、単項式と多項式の総称のこと」

オメガ「そうだね」

• 単項式の例： \(2a,-3x^2y,1\)
• 多項式の例： \(2a-3x^2y+1\)
• 整式　の例： \(2a,-3x^2y,1,2a-3x^2y+1\)

シグマ「四則演算って、足す、引く、掛ける、割るのことでしょ？」

オメガ「その通り。加減乗除と呼ばれることもあるね。このうち、除法は数学２で学ぶ内容だから、ここでは加法、減法、乗法について学ぶよ」

シグマ「ラジャー」

整式の加法と減法

オメガ「まずは整式の加法と減法について。実際の例で見てみよう」

\(A=3x^2+2x-3, B=2x^2-1\) のとき、 和 \(A+B\) と 差 \(A-B\) を求めよ。

シグマ「やってみる」

• 和（加法）
  \(A+B\)
  \(=(3x^2+2x-3)+(2x^2-1)\)
  \(=5x^2+2x-4\)
• 差（減法）
  \(A-B\)
  \(=(3x^2+2x-3)-(2x^2-1)\)
  \(=x^2+2x-2\)

シグマ「できた！　合ってる？」

オメガ「合っているよ」

シグマ「整式の加法と減法って、つまりは同類項をまとめているだけなんだね」

オメガ「そういうこと。簡単でしょ？」

単項式の乗法

シグマ「次は整式の乗法だよね」

\(A×B\)
\(=(3x^2+2x-3)(2x^2-1)\)

オメガ「ごめん。その前に、まずは単項式の乗法について話をしていいかな」

シグマ「うん」

• 累乗
  \(a^n\) のことを一般に \(a\) の累乗という。
• 指数
  \(a^n\) の \(n\) のことを指数という。

シグマ「1乗、2乗、3乗、4乗とかのことをまとめて累乗と呼ぶということ？」

オメガ「その通り。ちなみに、2乗は平方、3乗は立方と呼ぶこともあるよ」

シグマ「平方センチメートルや平方根の平方だよね」

オメガ「そうそう。では、累乗の計算問題を出すよ」

\(a^3×a^2\)は？

シグマ「\(a^6\)！　と言うとでも思ったでしょう？　答えは \(a^5\)！」

オメガ「どうしてそう思うの？」

シグマ「中学でそう習ったから」

オメガ「…………」

シグマ「（ドヤァ）」

オメガ「…………」

シグマ「…………」

オメガ「まあ呆れていても先に進まないね。あのね……、HowだけでなくWhyをわたしたちは大切にしよう」

• How
  どうやって解くか？
• Why
  どうしてその方法で解けるのか？
  どうしてそのように考えるのか？

シグマ「Whyを大切にする……」

オメガ「どうしてだと思う？」

シグマ「理由まで分かった方が、より深い理解に繋がるから……？」

オメガ「それも理由の一つだと思うよ」

シグマ「オメガはどうしてだと思うの？」

オメガ「うーん……。シグマ自身にもっと考えてほしいから、今は内緒で。ごめんね」

シグマ「……分かったよ」

シグマはノートに、HowだけでなくWhyを大切にしようと書いた。

オメガ「話を戻そう」

\(a^3×a^2\)は？

シグマ「なぜ掛け算なのに、 3+2=5 と考えるか」

オメガ「シグマにまた一つ合言葉を教えるね」

シグマ「うん」

オメガ「定義に立ち返ろう」

シグマ「定義……？」

オメガ「定義とは、その用語の意味、その用語のスタート地点のことだと思っていいよ」

シグマ「その用語のスタート地点に戻ろうということ？」

オメガ「そうだね。 \(a^3\) の定義は何だろう？」

シグマ「 \(a^3\) は \(a\) を3回掛けたもの」

オメガ「合っているよ」

つまり、 \(a^3=a×a×a\)

同様に、 \(a^2=a×a\)

オメガ「そうすると、 \(a^3×a^2\) というのは……」

シグマ「分かった！　こうでしょ」

\(a^3×a^2\)
\(=a×a×a×a×a\)
\(=a^5\)

オメガ「素晴らしい」

シグマ「こうやって書いてみると、3個のaの積と2個のaの積を掛けるんだから、5個のaの積になるのは当たり前だなあ。どうして分からなかったんだろ」

オメガ「今回のように定義に帰ることで、気付きを得ることは多いよ」

シグマ「なるほど」

オメガ「では次の問題」

\((a^3)^2\)は？

シグマ「3×2で、答えは \(a^6\) だと知ってるけど、どうしてそうなるか考えてみるよ」

\((a^3)^2\)
\(=a^3×a^3\)
\(=a^6\)

シグマ「出来た！」

オメガ「正解〜。ここまでの内容を一般化するね」

\(m,n\) を正の整数とする。

• \(a^m×a^n=a^{m+n}\)
  例：\(a^3×a^2=a^5\)
  　　\(a^6\) と間違えないように注意！
• \((a^m)^n=a^{mn}\)
  例：\((a^3)^2=a^6\)
  　　\(a^9\) と間違えないように注意！
• \((ab)^n=a^nb^n\)
  例：\((ab)^3=a^3b^3\)

シグマ「3つ目も簡単に証明できる！」

オメガ「そうだね。これら３つのことを指数法則と呼ぶよ」

整式の乗法

オメガ「指数の計算についても説明したし、整式の乗法の話に戻ろうね」

シグマ「了解！」

オメガ「整式の乗法では分配法則を用いるよ」

シグマ「諦めて手書きにしたんだね」

オメガ「メタな発言はさておき……。分配という名前の通り、各項に掛け算を分配しているよ」

シグマ「うん」

オメガ「上の分配法則を使って、 \((A+B)(C+D)\) を計算することができるかな？」

シグマ「 \(AC+AD+BC+BD\) になることを知っているけど、これもなぜか考えてみるね」

オメガ「ファイト！」

シグマ「うーん……。 \((A+B)(C+D)\) は２つの分配法則の合体バージョンっぽいんだよな」

オメガ「そうだね。ヒントは二つの分配法則を順番に使っていけばいいよ」

シグマ「順番に……」

シグマはノートに数式を書いていった。

シグマ「できた！」

オメガ「すごい！　正解♪」

シグマ「分配法則を用いることで、整式と整式の積が計算できるんだね」

オメガ「そうそう。今回は分配法則を順番に使って丁寧に計算したけど、実際は次のように計算するよ」

シグマ「前の整式の項と後ろの整式の項のペアで掛け算して、項を作っていく感じだね」

オメガ「そうそう。ちなみにこのような計算を、式の展開とも呼ぶよ」

シグマ「括弧を開いている感じだからかな？」

オメガ「そんな感じかな。最後に次の問題をやって今日は終わろうね」

\(A=3x^2+2x-3, B=2x^2-1\) のとき、 積 \(AB\) を求めよ。

シグマ「そうだ、この問題を考えていたんだった」

オメガ「もうできるでしょう？」

シグマ「うん」

• 積（乗法）
  \(AB\)
  \(=(3x^2+2x-3)(2x^2-1)\)
  \(=6x^4-3x^2+4x^3-2x-6x^2+3\)
  \(=6x^4+4x^3-9x^2-2x+3\)

オメガ「正解〜。基本的な計算問題だけど、この中にこれまで学んできた分配法則・指数法則・同類項をまとめる・降べきの順に整理するといった内容が出てきているね」

シグマ「一つ一つの積み重ねということか」

オメガ「そうだね。今日はここまでにしよう。次回は、式の展開（整式の乗法）について、もう少し掘り下げていくよ！」

シグマ「では、またね」

最後に

今回は以下のことを学びました。

• 整式の加法・減法はただ同類項をまとめているだけ
• 指数法則
• 整式の乗法は分配法則を使う

それから、「HowだけでなくWhyを大切にしよう」「定義に立ち返ろう」といった合言葉も出てきました。

みなさんはなぜ、Whyを大切にする必要があると考えますか？　ぜひ、自分なりに言語化してみてください。

数学の内容だけでなく、学ぶうえでのこころのようなものも、折に触れ、伝えていければ。

では、次回もまた会えると嬉しいです！

本シリーズの記事はこちら