目次
はじめに
本シリーズは、生徒役のシグマと教師役のオメガの２人の会話で学ぶ高校数学です。
皆さんも、シグマと一緒に高校数学を学んでみませんか？
展開公式の利用
前置き
オメガ「今日は、式の展開（整式の乗法）の続きだよ」
シグマ「どんどんぱふぱふ」
オメガ「前回の内容を覚えているかな？」
シグマ「式の展開は分配法則で出来る！」
オメガ「そうそう。分配法則を使えば、どんな式も展開できる」
シグマ「なら、今日は何の話をするの？」
オメガ「今日は、展開公式の利用だね。これらを学ぶことで、一部の式の展開がより簡単にできるようになるよ」
シグマ「どんな式も分配法則で展開できるなら、新たに公式を覚えなくていいのでは？」
オメガ「うーん、それはどうだろう。試しにちょっと、次の問題を解いてみて」
問 \((a+2)^3\) を展開しなさい。
シグマ「計算してみるよ」
シグマの計算
\((a+2)^3\)
\(=(a+2)(a+2)(a+2)\)
\(=(a^2+2a+2a+4)(a+2)\)
\(=(a^2+4a+4)(a+2)\)
\(=a^3+2a^2+4a^2+8a+4a+8\)
\(=a^3+6a^2+12a+8\)
シグマ「ふー、できた。合ってる？」
オメガ「合ってる」
シグマ「やったぜ」
オメガ「でも、計算が何行にも渡っちゃっているね」
シグマ「確かに……」
オメガ「３乗の展開公式を使うと簡単に計算できるよ」
３乗の展開公式
\((a+b)^3\)
\(=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
この展開公式を用いると、
\((a+2)^3\)
\(=a^3+3a^2 \cdot 2+3a \cdot 2^2+2^3\)
\(=a^3+6a^2+12a+8\)
（ \(b\) に 2 を代入している）
オメガ「こんな感じで計算が楽になる」
シグマ「いやいや、こっちの方が大変でしょ。公式を覚えるのも大変だし」
オメガ「確かに慣れるまでは、この方が大変に感じるかもしれないね。でも慣れてきたら楽チンだよ。だから、頑張って慣れてほしいな」
シグマ「公式、覚えるの嫌だな……」
オメガ「何度も使っていると自然に覚えてくるから、一緒に頑張ろう」
シグマ「うん」
展開公式一覧
オメガ「知っておいたほうがいい展開公式を紹介するね」
中学の復習
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) （２乗の公式）
\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) （２乗の公式）
\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) （和と差の積の公式）
高校で新登場
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) （３乗の公式）
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\) （３乗の公式）
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
シグマ「たくさんある……」
オメガ「高校数学で新登場の公式は５つだね。一つ一つ見ていこう」
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
オメガ「この公式を見て感じることはあるかな？」
シグマ「３がいっぱい出てくる」
オメガ「いい視点！ ３乗の展開公式には３がいっぱい出てくるよ。２乗の展開公式と比べてみよう」
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)
シグマ「２乗の展開公式では２がたくさん出てきているね。大雑把に見ると、２乗の展開公式で２だった箇所が、３乗の展開公式では３になってる。項の数も増えて、式がパワーアップしている感じ」
オメガ「直感的な捉え方としては悪くないと思うよ。こうやって式を眺めていると、だんだん覚えられるような気がしてこないかな？」
シグマ「確かに……」
計算例
\((2x+3)^3\)
\(=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot 3+3 \cdot 2x \cdot 3^2+3^3\)
\(=8x^3+36x^2+54x+27\)
オメガ「\(a\) とか \(b\) がややこしければ、前３乗＋３倍の前２乗×後ろ＋３倍の前×後ろ２乗＋後ろ３乗 と唱えてもいいよ」
\((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)
オメガ「この公式を見て感じることはあるかな？」
シグマ「さっきの公式とそっくり」
オメガ「さっきの公式とどこが同じで、どこが違う？」
シグマ「並びとかは同じだけど、プラスマイナスが一部違う」
オメガ「そうだね。展開後の項の符号が、前から順にプラス、マイナス、プラス、マイナスとなっているよ」
シグマ「違いはそれだけだから、簡単に覚えられそう！」
計算例
\((2x-3)^3\)
\(=(2x)^3-3 \cdot (2x)^2 \cdot 3+3 \cdot 2x \cdot 3^2-3^3\)
\(=8x^3-36x^2+54x-27\)
オメガ「ちなみにこの公式は覚えなくても、\((a+b)^3\) の公式でカバーできているんだよね」
シグマ「！？ 言われてみれば確かに」
計算例
\((2x-3)^3\)
\(=(2x)^3+3 \cdot (2x)^2 \cdot (-3)+3 \cdot 2x \cdot (-3)^2+(-3)^3\)
\(=8x^3-36x^2+54x-27\)
シグマ「\((a+b)^3\) の公式だけで済むなら、そっちだけ覚えておこうかな」
オメガ「それでいいと思うよ」
\((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
オメガ「この公式を見て感じることはあるかな？」
シグマ「うーん……。あまり」
オメガ「そっか。せっかくだしこの公式は証明しておこうか」
証明
\((a+b)(a^2-ab+b^2)\)
\(=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3\)
\(=a^3+b^3\)
シグマ「展開すると項が打ち消され合って、スッキリした式になるんだね」
オメガ「そうそう」
計算例
\((2a+5)(4a^2-10a+25)\)
\(=8a^3+125\)
シグマ「公式を使えると気付かずに、普通に展開しちゃいそうだな」
オメガ「まあ、それならそれでいいと思うよ。この公式はどちらかというと、因数分解の際に重要になってくるんだよね」
シグマ「そうなんだ」
\((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
シグマ「さっきの式と似ているね」
オメガ「これも証明しておこうか」
証明
\((a-b)(a^2+ab+b^2)\)
\(=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3\)
\(=a^3-b^3\)
計算例
\((2a-5)(4a^2+10a+25)\)
\(=8a^3-125\)
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
オメガ「次はこの公式だよ。前２乗＋真ん中２乗＋後ろ２乗＋２倍の前×真ん中＋２倍の真ん中×後ろ＋２倍の後ろ×前」
シグマ「\(2ca\) の部分は、\(2ac\) と書くべきなのでは？」
オメガ「よく気付いたね。今回のように、\(a,b,c\) が輪の形に巡回している時は、それをわかりやすくするために、あえて \(2ca\) と書いたりするんだよ」
シグマ「そうなんだ」
オメガ「他に気づいたことはある？」
シグマ「\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) に似てる」
オメガ「そうだね。並べて見てみようか」
\((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\)
\((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
シグマ「こうやって並べてみると、違いがわかりやすいね。３文字目の \(c\) が増えたことで、その分の項が増えているだけ」
オメガ「そうそう」
証明
\((a+b+c)^2\)
\(=(a+b+c)(a+b+c)\)
\(=a^2+ab+ac+ab+b^2+bc+ac+bc+c^2\)
\(=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
計算例
\((2x-3y-5z)^2\)
\(=(2x)^2+(-3y)^2+(-5z)^2+2 \cdot 2x \cdot (-3y)+2 \cdot (-3y) \cdot (-5z)+2 \cdot (-5z) \cdot 2x\)
\(=4x^2+9y^2+25z^2-12xy+30yz-20zx\)
シグマ「いや〜疲れたな」
オメガ「お疲れ様。新しい５つの公式も何とか制覇できたね！」
シグマ「たくさん計算問題を解いて、公式を体に馴染ませないとな」
オメガ「そうだね。計算力はすべての基本だからね」
シグマ「では、またね」
最後に
今回は展開公式を用いた式の展開について学びました。
オメガはシグマに、「この公式を見て感じることはあるかな？」と何度か問いかけています。じっと式を眺めて、特徴を掴むことが出来たならば、ただの公式丸暗記から脱却できるでしょう。ぜひ、登場した式と仲良しになってください。
では、次回もまた会えると嬉しいです！
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