数学１　数と式４　展開の工夫

はじめに

本シリーズは、生徒役のシグマと教師役のオメガの２人の会話で学ぶ高校数学です。

皆さんも、シグマと一緒に高校数学を学んでみませんか？

展開の工夫

オメガ「今日も、式の展開（整式の乗法）の続きだよ。今日は展開の工夫について学ぼう」

シグマ「どんどんぱふぱふ」

オメガ「今日ははじめに扱う問題を載せておくね」

(1) \((a+b+c)(a+b-c)\)
(2) \((a+b-c)(a-b-c)\)
(3) \((a+b+c)(a-b-c)\)
(4) \(a(a+1)(a+2)(a+3)\)
(5) \((a^4+1)(a^2+1)(a+1)(a-1)\)
(6) \((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)
(7) \((a+b)^3(a-b)^3\)

シグマ「どの問題も根性で何とか展開できそう」

オメガ「どんな方法でも、まずは解けることが第一だから、良いことだと思うよ。けど、今回は根性ではなく工夫して解くことを考えようか」

シグマ「はーい」

\((a+b+c)(a+b-c)\)

オメガ「この式を見て感じることはあるかな」

シグマ「\(a+b+c\) と \(a+b-c\) は似ているね。最後の項のプラスマイナスが違うだけ」

オメガ「そうだね。\(a+b\) の部分は共通しているから、この部分を別の文字で置き換えてみよう」

\((a+b+c)(a+b-c)\)
\(=(A+c)(A-c)\)　 \(A=a+b\) とおく。
\(=A^2-c^2\)
\(=(a+b)^2-c^2\)
\(=a^2+2ab+b^2-c^2\)

シグマ「なるほど。計算が簡単になってる！　共通する部分は別の文字で置き換える、と」

オメガ「慣れてくるとね、別の文字で置き換えなくても同じことができるようになるよ。\(a+b\) を１つのブロックとして考えてみて」

\((a+b+c)(a+b-c)\)
\(=(a+b)^2-c^2\)
\(=a^2+2ab+b^2-c^2\)

シグマ「おおーー？」

オメガ「慣れるまではいったん別の文字に置き換えて考えてもいいよ。でもいずれは省略できるといいね」

\((a+b-c)(a-b-c)\)

シグマ「この問題も共通する部分がある！　解いてみるよ」

シグマの解答（※誤答）
\((a+b-c)(a-b-c)\)
\(=(a+A)(a-A)\)　 \(A=b-c\) とおく。
\(=a^2-A^2\)
\(=a^2-(b-c)^2\)
\(=a^2-(b^2-2bc+c^2)\)
\(=a^2-b^2+2bc-c^2\)

シグマ「どう？」

オメガ「気持ちは分かるけど、不正解だね」

シグマ「うそだ〜」

オメガ「うそだと思うなら、普通に展開してみて」

普通に展開
\((a+b-c)(a-b-c)\)
\(=a^2-ab-ac+ab-b^2-bc-ac+bc+c^2\)
\(=a^2-2ac-b^2+c^2\)

シグマ「ほんとだ。違う……」

オメガ「置き換えの部分が間違っているんだよね。 \(a-A\) を置き換える前に戻してみて？」

シグマ「\(a-b-c\) でしょ？」

オメガ「違うよ。よく考えてみて」

シグマ「……！　そっか」

\(a-A\)
=\(a-(b-c)\)
=\(a-b+c\)

\(a-A\) と \(a-b-c\) は別物！

シグマ「\(a-b-c\) の \(b-c\) 部分だけを文字で置き換えることはできないんだね」

オメガ「そうだね。ならどうやって解こうか？」

シグマ「\(a-c\) を文字で置き換える」

シグマの解答（※正答）
\((a+b-c)(a-b-c)\)
\(=(A+b)(A-b)\)　 \(A=a-c\) とおく。
\(=A^2-b^2\)
\(=(a-c)^2-b^2\)
\(=a^2-2ac+c^2-b^2\)

オメガ「これで正解だね。文字で置き換えずに、ブロックで考える場合の計算式も書いておくよ」

\((a+b-c)(a-b-c)\)
\(=(a-c)^2-b^2\)
\(=a^2-2ac+c^2-b^2\)

\((a+b+c)(a-b-c)\)

オメガ「一見、共通する部分がなさそうに見えるけど、どうかな？」

シグマ「これは分かったよ！」

シグマの解答
\((a+b+c)(a-b-c)\)
\(=(a+b+c)\{a-(b+c)\}\)
\(=(a+A)(a-A)\)　 \(A=b+c\) とおく。
\(=a^2-A^2\)
\(=a^2-(b+c)^2\)
\(=a^2-b^2-2bc-c^2\)

オメガ「正解ー。この問題も、ブロックで考える場合の計算式を載せておくね」

\((a+b+c)(a-b-c)\)
\(=(a+b+c)\{a-(b+c)\}\)
\(=a^2-(b+c)^2\)
\(=a^2-b^2-2bc-c^2\)

\(a(a+1)(a+2)(a+3)\)

オメガ「この問題はどうだろう？」

シグマ「工夫の仕方がわからないや。とりあえず普通に計算してみるね」

シグマの解答
\(a(a+1)(a+2)(a+3)\)
=\((a^2+a)(a^2+5a+6)\)
=\(a^4+5a^3+6a^2+a^3+5a^2+6a\)
=\(a^4+6a^3+11a^2+6a\)

オメガ「前から一つずつ展開をしていくのではなくて、前二つと、後ろ二つを先に展開したんだね。それだって立派な工夫だよ」

シグマ「工夫できてたんだ」

オメガ「でももっと工夫できるよ」

工夫した解答
\(a(a+1)(a+2)(a+3)\)
=\(a(a+3)(a+1)(a+2)\)
=\((a^2+3a)(a^2+3a+2)\)
=\(A(A+2)\)　 \(A=a^2+3a\) とおく。
=\(A^2+2A\)
=\((a^2+3a)^2+2(a^2+3a)\)
=\(a^4+6a^3+9a^2+2a^2+6a\)
=\(a^4+6a^3+11a^2+6a\)

オメガ「順番を並び替えて、２つずつ展開することで、共通部分をうまく作り出したんだ」

シグマ「なるほど。 \(a^2+3a\) という共通部分がうまく現れるように、ペアを作ったんだね。元々より、計算式が長くなっている気もするけど」

オメガ「まあ確かにね。でもこの方法も覚えておいてね」

ブロックで考える場合の解答
\(a(a+1)(a+2)(a+3)\)
=\(a(a+3)(a+1)(a+2)\)
=\((a^2+3a)(a^2+3a+2)\)
=\((a^2+3a)^2+2(a^2+3a)\)
=\(a^4+6a^3+9a^2+2a^2+6a\)
=\(a^4+6a^3+11a^2+6a\)

\((a^4+1)(a^2+1)(a+1)(a-1)\)

オメガ「この問題はどうかな？」

シグマ「ふむふむ。これは前から展開していくと痛い目に会うやつだな」

シグマの解答
\((a^4+1)(a^2+1)(a+1)(a-1)\)
=\((a^4+1)(a^2+1)(a^2-1)\)
=\((a^4+1)(a^4-1)\)
=\(a^8-1\)

オメガ「正解〜。いいね！」

シグマ「これもさっきの問題と同じで、計算順を工夫する問題だね」

オメガ「その通りだよ」

\((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)

オメガ「この問題はどうかな？」

シグマ「うーん……。とりあえず前２つで和と差の積だよね」

シグマの解答（※誤答）
\((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)
=\((a^2-b^2)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)

シグマ「ここで手詰まりだ……」

オメガ「確かに和と差の積の公式に飛びつきたくなっちゃうけど、これも計算順を工夫する問題だよ」

シグマ「計算順……。そうか、あの公式が使える！」

シグマの解答（※正答）
\((a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)\)
=\((a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2+ab+b^2)\)
=\((a^3+b^3)(a^3-b^3)\)
=\(a^6-b^6\)

オメガ「この問題も無事解けたね」

\((a+b)^3(a-b)^3\)

シグマ「最後の問題だー！　絶対に解いてやるぞ」

時間がかかったものの、これまで学んだことを組み合わせて、シグマは自力で解答を作り出した。

シグマの解答
\((a+b)^3(a-b)^3\)
=\((a^3+3a^2b+3ab^2+b^3)(a^3-3a^2b+3ab^2-b^3)\)
=\((a^3+3ab^2+3a^2b+b^3)\{a^3+3ab^2-(3a^2b+b^3)\}\)
=\((A+B)(A-B)\)　 \(A=a^3+3ab^2, B=3a^2b+b^3\) とおく。
=\(A^2-B^2\)
=\((a^3+3ab^2)^2-(3a^2b+b^3)^2\)
=\((a^6+6a^4b^2+9a^2b^4)-(9a^4b^2+6a^2b^4+b^6)\)
=\(a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6\)

オメガ「すごいよ！　難しい問題だけど正解している！」

シグマ「これで式の展開もばっちりかな」

オメガ「でもこの問題、もっと工夫できるんだよね。カギとなるのは指数法則だけど、覚えてる？」

シグマ「覚えてるよ」

指数法則

\(a^m×a^n=a^{m+n}\)
\((a^m)^n=a^{mn}\)
\((ab)^n=a^nb^n\)

シグマ「でも、どれがカギになるんだろう」

オメガ「\((a+b)^3(a-b)^3\) の３乗が揃っているのがヒントかな」

シグマ「そうか。３つ目の法則を使うんだね」

シグマの解答（改良版）
\((a+b)^3(a-b)^3\)
=\(\{(a+b)(a-b)\}^3\)
=\((a^2-b^2)^3\)
=\((a^2)^3+3 \cdot (a^2)^2 \cdot (-b^2)+3 \cdot a^2 \cdot (-b^2)^2+(-b^2)^3\)
=\(a^6-3a^4b^2+3a^2b^4-b^6\)

オメガ「先に中身同士を展開して、その後に３乗するということだね」

式の展開のまとめ

式の展開は分配法則で計算できる
展開公式を用いて楽に展開できる問題あり
- \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)　（２乗の公式）
- \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)　（２乗の公式）
- \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)　（和と積の公式）
- \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\)　（３乗の公式）
- \((a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\)　（３乗の公式）
- \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\)
- \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\)
- \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
工夫を用いて楽に計算できる問題あり
- 共通部分を文字で置き換える、または、一つのブロックとして考える
- 展開の計算順を工夫する

オメガ「式の展開の話はここまでだよ。次回からは因数分解に突入だね」

シグマ「因数分解も頑張るぞー。では、またね」

最後に

今回は一工夫必要な式の展開の問題をたくさん解きました。たくさんと言っても、パターンは高々知れていますので、演習を重ねれば、慣れることができるでしょう。

では、次回もまた会えると嬉しいです！

数学１　数と式４　展開の工夫

はじめに